KUMPULAN RPP MATEMATIKA

L'Hospital's Peraturan Diamkan lim untuk batas , , , , Atau , Dan anggaplah bahwa lim dan lim keduanya nol atau keduanya . Jika (1) memiliki nilai terbatas atau jika batas adalah , Maka (2) Secara historis, hasil ini pertama kali muncul di l'risalah Hospital's 1696, yang merupakan buku pertama kalkulus diferensial . Dalam buku, l'Rumah Sakit terima kasih saudara-saudara Bernoulli atas bantuan dan penemuan mereka. Surat sebelumnya oleh John Bernoulli memberikan baik aturan dan bukti, sehingga ada kemungkinan bahwa Bernoulli menemukan aturan (Larson et al,. 1999 hal 524). Perhatikan bahwa nama Hospital's l'umumnya terjadi dieja baik "l'Rumah Sakit" (misalnya, Maurer 1981, hal 426; Arfken 1985, hal 310) dan "l'Hopital" (misalnya, Maurer 1981, hal 426; Gray 1997, p. 529), setara dua berada di ejaan Perancis. L'Hospital's aturan kadang-kadang gagal untuk menghasilkan hasil yang bermanfaat, seperti dalam kasus fungsi , Digambarkan di atas. Berulang kali menerapkan aturan dalam hal ini memberikan ekspresi yang terombang-ambing dan tidak pernah bertemu, (3) (4) (5) (6) (7) Sebenarnya batas adalah 1. L'Hospital's aturan kadang-kadang harus diterapkan dengan beberapa perawatan, karena hanya berlaku dalam kasus implisit mengerti bahwa tidak mengubah tanda jauh sering di sekitar . Sebagai contoh, perhatikan batas dengan (8) (9) sebagai . Sementara kedua dan pendekatan sebagai , Batas rasio tersebut berbatasan dalam interval , Sedangkan batas pendekatan 0 (Boas 1986). Contoh lain yang serupa adalah batasnya dengan (10) (11) sebagai . Sementara kedua dan Pendekatan 0 sebagai , Batas rasio adalah 0, sementara membatasi tak terbatas pada garis nyata (Wilf 1966, Ricko 1968).

Dalam kalkulus , l'aturan Hôpital's diucapkan [lopital] (juga disebut Bernoulli aturan ') menggunakan derivatif untuk membantu mengevaluasi batas yang melibatkan bentuk-bentuk tak tentu . Aplikasi (atau berulang aplikasi) peraturan sering mengubah bentuk tak tentu ke bentuk menentukan, sehingga evaluasi mudah batas. Aturan ini dinamai setelah abad ke-17 Perancis matematikawan Guillaume de l'Hospital , yang menerbitkan aturan tersebut dalam bukunya Analisis des Petits pour l'Infiniment Intelijen des Lignes Courbes (terjemahan harfiah: Analisis Jauh Kecil Memahami Curved Lines) ( 1696), buku pelajaran pertama pada kalkulus diferensial . ^[1] Namun, diyakini bahwa aturan itu ditemukan oleh matematikawan Swiss Johann Bernoulli . ^[2]

The -Cesàro Teorema Stolz adalah hasil yang serupa yang melibatkan urutan batas, namun memakai hingga operator perbedaan bukan turunan .

Dalam bentuknya yang paling sederhana, l'Hôpital's menyatakan aturan bahwa untuk fungsi f dan g:

Jika atau dan ada,

kemudian

Perbedaan dari pembilang dan penyebut sering menyederhanakan kecerdasan dan / atau mengkonversi ke bentuk menentukan, yang memungkinkan membatasi untuk dievaluasi lebih mudah.

Isi [hide] 1 Bentuk Umum 2 Persyaratan yang membatasi ada 3 Contoh 4 Bentuk lain tak tentu 5 lainnya metode evaluasi batas 6 Logical bundar 7 Kasus dimana f dan g adalah terdiferensialkan pada c 8 geometris interpretasi 9 Bukti l'aturan Hôpital's 9.1 Zero lebih dari nol 9.2 Infinity atas tak terhingga 10 Lihat juga 11 Catatan 12 Pranala luar

[ sunting ] formulir Umum

Bentuk umum aturan l'Hôpital's mencakup lebih banyak kasus. Misalkan c itu dan L adalah bilangan real diperpanjang (yaitu, bilangan real, tak terhingga positif, atau tak terhingga negatif). Misalkan baik

atau

Dan misalkan

Kemudian

Batas juga mungkin sisi batas satu .

[ sunting ] Persyaratan yang membatasi ada

Persyaratan yang membatasi

ada adalah penting. Diferensiasi bentuk tak tentu kadang-kadang dapat menyebabkan batas-batas yang tidak ada. Jika ini terjadi, maka aturan l'Hôpital's tidak berlaku. Sebagai contoh, jika f (x) = x + sin (x) dan g (x) = x, maka

yang membatasi tidak ada. Namun, bekerja dengan fungsi asli

.

[ sunting ] Contoh

• Berikut adalah contoh yang melibatkan fungsi sinc dan bentuk tak tentu _⁰ / ^0:

Atau, hanya mengamati yang membatasi adalah definisi derivatif dari sinus fungsi dari nol.

• Ini adalah contoh yang lebih rumit melibatkan _⁰ / ^0. Menerapkan aturan l'Hôpital's satu waktu masih hasil dalam bentuk tak tentu. Dalam hal ini, batas tersebut dapat dievaluasi dengan menerapkan aturan tersebut tiga kali:

• Contoh ini melibatkan _⁰ / ^0. Misalkan b itu> 0. Kemudian

• Berikut ini adalah contoh lain yang melibatkan _⁰ / ^0:

• Contoh ini melibatkan ^∞ / _∞. Asumsikan n adalah bilangan bulat positif. Kemudian

Berulang kali menerapkan aturan l'Hôpital's sampai eksponen adalah nol untuk menyimpulkan bahwa membatasi adalah nol.

• Berikut ini adalah contoh lain yang melibatkan ^∞ / _∞:

• Berikut adalah contoh yang melibatkan respon impuls dari mengangkat-cosinus filter dan _⁰ / ^0:

• Satu juga dapat menggunakan aturan l'Hôpital's untuk membuktikan teorema berikut. Jika f''kontinu di x, maka

• Kadang-kadang L'Hôpital's aturan dipanggil dengan cara yang rumit: misalkan f (x) + f '(x) menyatu sebagai x → ∞. Ini berikut:
• :

dan sebagainya ada dan

Perhatikan bahwa bukti di atas mengasumsikan bahwa e ^x f (x) menyatu dengan atau negatif positif tak terhingga sebagai x → ∞. Oleh karena itu, kita kemudian dapat menerapkan aturan L'Hôpital's. Hasil namun masih terus meskipun buktinya tidak sepenuhnya lengkap.

[ sunting ] Bentuk tak tentu lainnya

bentuk tak tentu lainnya, seperti 1 ^{∞, 0} 0, ∞ ^0, 0 × ∞, dan ∞ - ∞, kadang-kadang dapat dievaluasi dengan menggunakan aturan l'Hôpital's. Misalnya, untuk mengevaluasi batas yang melibatkan ∞ - ∞, mengubah perbedaan dua fungsi untuk kecerdasan seorang:

dimana l'Hôpital's aturan diterapkan untuk pergi dari (1) sampai (2) dan kemudian kembali untuk pergi dari (3) sampai (4).

l'Hôpital's aturan dapat digunakan pada bentuk tak tentu melibatkan eksponen dengan menggunakan logaritma untuk "bergerak eksponen ke bawah". Berikut adalah contoh yang melibatkan bentuk tak tentu ⁰ 0:

Hal ini berlaku untuk memindahkan membatasi dalam fungsi eksponensial karena fungsi eksponensial adalah kontinu . Sekarang eksponen x telah "dipindahkan ke". The limit lim _{x → 0 ⁺} (x ln x) adalah 0 × tak tentu bentuk (- ∞), tetapi seperti yang ditunjukkan dalam contoh di atas, l'Hôpital's aturan dapat digunakan untuk menentukan bahwa

Demikian

[ sunting ] Metode lainnya untuk mengevaluasi batas

Meskipun aturan l'Hôpital's adalah cara yang ampuh untuk mengevaluasi dinyatakan sulit mengevaluasi batas, tidak selalu cara termudah. Mempertimbangkan

batas ini dapat dievaluasi dengan menggunakan aturan l'Hôpital's:

Hal ini berlaku untuk memindahkan membatasi dalam kosinus fungsi karena fungsi kosinus kontinu .

Cara lain untuk mengevaluasi batas ini adalah dengan menggunakan substitusi. Y = 1 / x. Sebagai | x | mendekati tak terhingga, y mendekati nol. Jadi,

Batas akhir dapat dievaluasi dengan menggunakan aturan l'Hôpital's atau dengan mencatat bahwa itu adalah definisi turunan dari fungsi sinus dari nol.

Masih cara lain untuk mengevaluasi batas ini adalah dengan menggunakan deret Taylor ekspansi:

Untuk | x | ≥ 1, istilah dalam kurung dibatasi, sehingga batas pada baris terakhir adalah nol.

[ sunting ] bundar Logis

Dalam beberapa kasus mungkin merupakan penalaran melingkar untuk menggunakan aturan l'Hôpital's untuk mengevaluasi batas. Mempertimbangkan

Jika tujuan mengevaluasi batas ini adalah untuk membuktikan bahwa jika f (x) = x ^n, maka

dan satu menggunakan aturan l'Hôpital's dan ini fakta yang sama untuk mengevaluasi batas, maka argumen menggunakan kesimpulan sebagai asumsi (misalnya, mengundang pertanyaan ) dan karena itu menyesatkan (meskipun kesimpulan itu benar).

[ sunting ] Kasus di mana f dan g adalah terdiferensialkan pada c

Bukti l'Hôpital's aturan sederhana dalam kasus dimana f dan g adalah terdiferensiasi di c titik. Ini bukan bukti aturan umum l'Hôpital's karena memerlukan hipotesis kuat daripada aturan l'Hôpital's.

Misalkan f dan g kontinu dan terdiferensialkan di c, bahwa f (c) = g (c) = 0, dan itu g '(c) ≠ 0. Kemudian

(Ingat bahwa f (c) = g (c) = 0). Hal ini mengikuti aturan batas quotients dan definisi turunan.

Ini menunjukkan kasus umum dari aturan l'Hôpital's, yang tidak memerlukan fungsi f dan g akan terdiferensiasi pada butir c dan terbukti di bawah ini.

[ sunting ] Interpretasi geometrik

Pertimbangkan kurva pada bidang x-koordinat yang diberikan oleh g (t) dan y-koordinat yang diberikan oleh f (t), yaitu

Misalkan f (c) g = (c) = 0. Batas rasio f (t) / g (t) sebagai c → t kemiringan bersinggungan dengan kurva pada titik [0, 0]. Yang bersinggungan dengan kurva pada titik t diberikan oleh [g '(t), f' (t)]. L'Hôpital's aturan kemudian menyatakan bahwa kemiringan garis singgung di 0 adalah batas lereng garis singgung pada titik-titik mendekati nol.

[ sunting ] Bukti l'aturan Hôpital's

Sebuah bukti standar aturan l'Hôpital's menggunakan Teorema nilai rata-rata's Cauchy . l'aturan Hôpital's memiliki banyak variasi tergantung pada apakah c dan L adalah terbatas atau tak terbatas, apakah f dan g bertemu dengan nol atau tak terhingga, dan apakah batas adalah salah satu sisi atau dua sisi. Semua variasi mengikuti dari dua variasi utama di bawah tanpa, untuk sebagian besar, membutuhkan apapun alasan baru. ^[3]

[ sunting ] Zero atas nol

Misalkan c dan L yang terbatas dan f dan g bertemu dengan nol.

Pertama, define (atau mendefinisikan kembali) f (c) = 0 dan g (c) = 0. Hal ini membuat f dan g kontinu di c, tetapi tidak mengubah batas (karena, menurut definisi, membatasi tidak tergantung pada nilai pada butir c). Sejak ada, ada sebuah interval (c - δ, c + δ) sedemikian rupa sehingga untuk semua x dalam interval, dengan kemungkinan pengecualian x = c, baik f '(x) dan g' (x) ada dan g '( x) tidak nol.

Jika x adalah pada interval (c, c + δ), maka teorema nilai rata-rata dan nilai Teorema berarti's Cauchy baik berlaku untuk interval [c, x], dan sebuah pernyataan yang sama berlaku untuk x dalam selang (c - δ, c). Teorema nilai rata-rata menunjukkan bahwa g (x) tidak nol, karena jika tidak ada akan beberapa y di interval (c, x) dengan g '(y) = 0. Teorema nilai rata-rata's Cauchy sekarang menyiratkan bahwa ada ξ titik _x dalam (c, x) seperti yang

Jika x mendekati c, maka ξ c _x mendekati (oleh teorema peras ). Sejak ada, itu berarti bahwa

[ sunting ] Infinity atas tak terhingga

Misalkan L adalah terbatas, c infinity positif, dan f dan g bertemu tak terhingga positif.

Untuk setiap> ε 0, ada sebuah m sehingga

Teorema nilai rata-rata menunjukkan bahwa jika x m>, maka g (x) ≠ g (m), karena jika tidak akan ada y di interval (m, x) dengan g '(y) = 0. nilai Teorema mean's Cauchy diterapkan pada interval [m, x] sekarang menyiratkan bahwa

Karena f menyatu hingga tak terbatas positif, jika x cukup besar, maka f (x) ≠ f (m). Menulis

Sekarang,

Untuk x cukup besar, hal ini kurang dari ε dan karenanya

*

L'Hopital's Peraturan

Misalkan kita ingin mencari nilai , Ketika f (a) = g (a) = 0. Salah satu metode adalah dengan menggunakan L'Hopital's Peraturan, yang mengatakan: jika f (x) dan g (x) adalah fungsi terdiferensialkan dan f (a) = g (a) = 0, maka , Jika batas di sebelah kanan ada. Dengan kata lain, kita dapat menemukan batas asli dengan menemukan batas rasio derivatif dari fungsi pembilang dan penyebut. Applet berikut ini membantu untuk menjelaskan mengapa ini bekerja.

Coba yang berikut ini:

1. Pada grafik di sebelah kiri, applet menunjukkan grafik . Hal ini tidak didefinisikan untuk x = 0, tapi jelas tampaknya memiliki batas di sana. Jika kita membiarkan f (x) e ^2x = - 1 dan g (x) = x, maka kita dapat menggunakan L'Hopital's Aturan untuk menemukan membatasi melalui menemukan turunan dari fungsi pembilang dan penyebut: . Perhatikan bahwa kita tidak mengambil turunan dari rasio menggunakan aturan kecerdasan, melainkan secara terpisah menemukan turunan dari fungsi pembilang dan penyebut, kemudian menemukan batas rasio mereka. Perhatikan bahwa, sementara rasio asli tidak terdefinisi untuk x = 0, rasio dari derivatif didefinisikan, maka kita dapat mengevaluasi membatasi hanya dengan mensubstitusikan x = 0.
   
   Mengapa pekerjaan ini? Grafik di sebelah kanan menunjukkan f (x) dan g (x). Jika Anda mengklik zoom di beberapa kali tombol, linieritas lokal membuat kurva terlihat seperti garis lurus. Maka fungsi dapat didekati dengan garis singgung mereka pada x = 0 (yaitu, f (x) ≈ 2 x dan g (x) ≈ x), dan rasio yang dapat didekati dengan rasio dari garis singgung. Dalam batas, ini sama dengan rasio lereng garis singgung, yang hanya rasio derivatif dari fungsi pembilang dan penyebut.